微积分学示例

$y = \sqrt{\frac{t}{t + 1}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{t}{t + 1}}$ 重写成 ${(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = \frac{t}{t + 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t}{t + 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $\frac{t}{t + 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

解题步骤 4.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

解题步骤 4.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

解题步骤 4.7

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = t + 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

将 $t + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6.3

从 $t$ 中减去 $t$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6.5

将 $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.8.6.6

将 $2$ 移到 ${(t + 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{2 \cdot {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.9.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t + 1}{t})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.9.2

对 $\frac{t + 1}{t}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.9.3.1

将 $\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3.3

通过指数相加将 ${(t + 1)}^{2}$ 乘以 ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.9.3.3.1

移动 ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 ({(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(t + 1)}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3.3.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3.3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.9.3.3.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3.3.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.4

重新排序项。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例