微积分学示例

$y = \cot^{2} (\cos^{4} (t))$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cot^{2} (\cos^{4} (t)))$

解题步骤 2

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \cot (\cos^{4} (t))$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cot (\cos^{4} (t))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\cot (\cos^{4} (t))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \cot (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cot (t)$ 且 $g (t) = \cos^{4} (t)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos^{4} (t)$ 。

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

解题步骤 3.2.2

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{2})$ 。

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\cos^{4} (t)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) (\csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{4}$ 且 $g (t) = \cos (t)$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\cos (t)$ 。

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

解题步骤 3.4.3

使用 $\cos (t)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 \cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

解题步骤 3.5

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

解题步骤 3.6

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) (- \sin (t))$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

重新排序 $8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$ 的因式。

$8 \cos^{3} (t) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

解题步骤 3.8.2

将 $\csc (\cos^{4} (t))$ 重写为正弦和余弦形式。

$8 \cos^{3} (t) {(\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))})}^{2} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

解题步骤 3.8.3

对 $\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))}$ 运用乘积法则。

$8 \cos^{3} (t) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

解题步骤 3.8.4

一的任意次幂都为一。

$8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

解题步骤 3.8.5

乘以 $8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ 。

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解题步骤 3.8.5.1

组合 $\frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cos^{3} (t) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

解题步骤 3.8.5.2

组合 $\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ 和 $\cos^{3} (t)$ 。

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

解题步骤 3.8.6

将 $\cot (\cos^{4} (t))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cdot \frac{\cos (\cos^{4} (t))}{\sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

解题步骤 3.8.7

合并。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

解题步骤 3.8.8

通过指数相加将 $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ 乘以 $\sin (\cos^{4} (t))$ 。

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解题步骤 3.8.8.1

将 $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ 乘以 $\sin (\cos^{4} (t))$ 。

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解题步骤 3.8.8.1.1

对 $\sin (\cos^{4} (t))$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin^{1} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

解题步骤 3.8.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{{\sin (\cos^{4} (t))}^{2 + 1}} \sin (t)$

解题步骤 3.8.8.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

解题步骤 3.8.9

组合 $\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

解题步骤 3.8.10

乘以 $1$ 。

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

解题步骤 3.8.11

乘以 $1$ 。

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t)) \cdot 1}$

解题步骤 3.8.12

分离分数。

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} \cdot \frac{\cos^{3} (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

解题步骤 3.8.13

将 $\frac{1}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ 转换成 $\csc^{3} (\cos^{4} (t))$ 。

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

解题步骤 3.8.14

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

解题步骤 3.8.15

用 $8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)$ 除以 $1$ 。

$8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

微积分学 示例

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