微积分学示例

$z = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d z} (z) = \frac{d}{d z} (\frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

从 $3 x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x}]$

解题步骤 3.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x^{1}}]$

解题步骤 3.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x \cdot 1}]$

解题步骤 3.1.4

从 $x (3 x) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x + 1)}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 等于 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ，其中 $f (z) = 4 - 3 x$ 且 $g (z) = x (3 x + 1)$ 。

$\frac{x (3 x + 1) \frac{d}{d z} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $4 - 3 x$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- 3 x]$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

因为 $4$ 对于 $z$ 是常数，所以 $4$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (0 + \frac{d}{d z} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d z} [- 3 x]$ 相加。

$\frac{x (3 x + 1) \frac{d}{d z} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 3$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $z$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d z} [x]$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 \frac{d}{d z} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d z} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = x$ 且 $g (z) = 3 x + 1$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x \frac{d}{d z} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [3 x] + \frac{d}{d z} [1]$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (\frac{d}{d z} [3 x] + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

因为 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $z$ 的导数是 $3 \frac{d}{d z} [x]$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 \frac{d}{d z} [x] + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $\frac{d}{d z} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x' + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $1$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $3 x'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.10

将 $\frac{d}{d z} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

对 $x (3 x + 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.2

运用分配律。

$\frac{(x (3 x) + x \cdot 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.3

运用分配律。

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.4

运用分配律。

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.5

运用分配律。

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6

化简分子。

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解题步骤 3.11.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.11.6.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.11.6.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x \cdot 3 (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 3 (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.2

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{2} (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 9 x^{2} x' + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.11.6.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.6

化简每一项。

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解题步骤 3.11.6.1.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (3 x x' + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.6.2

将 $x'$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (3 x x' + 3 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.7

将 $3 x x'$ 和 $3 x x'$ 相加。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 + 3 x) (6 x x' + x')$ 。

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解题步骤 3.11.6.1.8.1

运用分配律。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x' + x') + 3 x (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.8.2

运用分配律。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x') - 4 x' + 3 x (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.8.3

运用分配律。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x') - 4 x' + 3 x (6 x x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.11.6.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 3.11.6.1.9.1.1

将 $6$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 (x x') - 4 x' + 3 x (6 x x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.9.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.11.6.1.9.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 3 (x \cdot x) (6 x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.9.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 3 x^{2} (6 x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.9.1.3

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 18 x^{2} x' + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.1.9.2

将 $- 24 x x'$ 和 $3 x x'$ 相加。

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 21 x x' - 4 x' + 18 x^{2} x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.2

将 $- 9 x^{2} x'$ 和 $18 x^{2} x'$ 相加。

$\frac{9 x^{2} x' - 3 x x' - 21 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.3

从 $- 3 x x'$ 中减去 $21 x x'$ 。

$\frac{9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.7

从 $9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 3.11.7.1

从 $9 x^{2} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$\frac{x' (9 x^{2}) - 24 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.7.2

从 $- 24 x x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$\frac{x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.7.3

从 $- 4 x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$\frac{x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) + x' \cdot - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.7.4

从 $x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x)$ 中分解出因数 $x'$ 。

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.7.5

从 $x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4$ 中分解出因数 $x'$ 。

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11.8

将 $\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = \frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} = 1$ 。

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} = 1$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2}) = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

化简 $\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.1

约去 $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2}) = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

解题步骤 5.3.1.1.1.2

重写表达式。

$(9 x^{2} - 24 x - 4) x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

解题步骤 5.3.1.1.2

运用分配律。

$9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

解题步骤 5.3.1.1.3

重新排序。

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解题步骤 5.3.1.1.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x x' - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

解题步骤 5.3.1.1.3.2

移动 $x$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$

解题步骤 5.4

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.4.1

化简 $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

将 ${(3 x + 1)}^{2}$ 重写为 $(3 x + 1) (3 x + 1)$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} ((3 x + 1) (3 x + 1))$

解题步骤 5.4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 1) (3 x + 1)$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

运用分配律。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1))$

解题步骤 5.4.1.2.2

运用分配律。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1))$

解题步骤 5.4.1.2.3

运用分配律。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.4.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.4.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.4.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.4.1.3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.4.1.3.1.5

将 $3 x$ 乘以 $1$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.4.1.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1)$

解题步骤 5.4.1.3.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 6 x + 1)$

解题步骤 5.4.1.4

运用分配律。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 5.4.1.5

化简。

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解题步骤 5.4.1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 5.4.1.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 5.4.1.5.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} x + x^{2}$

解题步骤 5.4.1.6

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1.6.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 (x^{2} x^{2}) + 6 x^{2} x + x^{2}$

解题步骤 5.4.1.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2 + 2} + 6 x^{2} x + x^{2}$

解题步骤 5.4.1.6.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{2} x + x^{2}$

解题步骤 5.4.1.6.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1.6.2.1

移动 $x$ 。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2}$

解题步骤 5.4.1.6.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1.6.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2}$

解题步骤 5.4.1.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{1 + 2} + x^{2}$

解题步骤 5.4.1.6.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

解题步骤 5.4.2

从 $9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $9 x' x^{2}$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (9 x^{2}) - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

解题步骤 5.4.2.2

从 $- 24 x' x$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

解题步骤 5.4.2.3

从 $- 4 x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) + x' \cdot - 4 = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

解题步骤 5.4.2.4

从 $x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x)$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4 = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

解题步骤 5.4.2.5

从 $x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

解题步骤 5.4.3

将 $x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ 中的每一项除以 $9 x^{2} - 24 x - 4$ 并化简。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ 中的每一项都除以 $9 x^{2} - 24 x - 4$ 。

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{9 x^{2} - 24 x - 4} = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.3.2.1

约去 $9 x^{2} - 24 x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{9 x^{2} - 24 x - 4} = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.3.1

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.3.2.1

从 $9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.3.3.2.1.1

从 $9 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + 6 x^{3} + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3.2.1.2

从 $6 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3.2.1.3

乘以 $1$ 。

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3.2.1.4

从 $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 1}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3.2.1.5

从 $x^{2} (9 x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2} + 6 x + 1)}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3.2.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.4.3.3.2.2.1

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 6 x + 1)}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3.2.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 6 x + 1^{2})}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3.2.2.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

解题步骤 5.4.3.3.2.2.4

重写多项式。

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 5.4.3.3.2.2.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 3 x$ 和 $b = 1$ 。

$x' = \frac{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d z}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d z} = \frac{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

微积分学 示例

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