微积分学示例

$y = \frac{765}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{765}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{765}{x^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $765$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{765}{x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $y$ 的导数是 $765 \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$765 \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = 1$ 且 $g (y) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.3.3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $0$ 。

$765 \frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.3.4.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$765 \frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.3.4.3

将负号移到分数的前面。

$765 (- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 4.3.4.4

将 $- 1$ 乘以 $765$ 。

$- 765 \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 4.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$- 765 \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$- 765 \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.7

在公分母上合并分子。

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.8

化简分子。

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解题步骤 4.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.9

将负号移到分数的前面。

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.10

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$- 765 \frac{\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$- 765 \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.12

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$- 765 \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} x'}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.13

组合 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x'$ 。

$- 765 \frac{\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.14

将 $\frac{\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$- 765 (\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 4.15

将 $\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.16

通过指数相加将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 4.16.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$- 765 \frac{x'}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 4.16.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.16.3

在公分母上合并分子。

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 4.16.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.17

组合 $- 765$ 和 $\frac{x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{- 765 x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.18

从 $- 765 x'$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 255 x')}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.19

约去公因数。

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解题步骤 4.19.1

从 $3 x^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 255 x')}{3 (x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 4.19.2

约去公因数。

$\frac{3 (- 255 x')}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.19.3

重写表达式。

$\frac{- 255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4.20

将负号移到分数的前面。

$- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = - \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6

求解 $x'$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ 。

$- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$

解题步骤 6.2

将 $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2

用 $\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = - 1$

解题步骤 6.3

两边同时乘以 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = - x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.4

化简左边。

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解题步骤 6.4.1

约去 $x^{\frac{4}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1

约去公因数。

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = - x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.4.1.2

重写表达式。

$255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.5

将 $255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$ 中的每一项除以 $255$ 并化简。

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解题步骤 6.5.1

将 $255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$ 中的每一项都除以 $255$ 。

$\frac{255 x'}{255} = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

解题步骤 6.5.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.1

约去 $255$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{255 x'}{255} = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

解题步骤 6.5.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

解题步骤 6.5.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{255}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{255}$

微积分学 示例

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