微积分学示例

$y = \frac{2 x^{2} - 5 x}{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 5 x}{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

从 $2 x^{2} - 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) - 5 x}{3}]$

解题步骤 3.1.1.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) + x \cdot - 5}{3}]$

解题步骤 3.1.1.3

从 $x (2 x) + x \cdot - 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x - 5)}{3}]$

解题步骤 3.1.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x (2 x - 5)}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [2 x - 5] + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (x (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} (x (2 + 0) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} (x \cdot 2 + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.6.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{3} (2 \cdot x + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} (2 x + (2 x - 5) \cdot 1)$

解题步骤 3.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.3.8.1

将 $2 x - 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (2 x + 2 x - 5)$

解题步骤 3.3.8.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{1}{3} (4 x - 5)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} (4 x) + \frac{1}{3} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.2.2

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{4 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 5$ 。

$\frac{4 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

解题步骤 3.4.2.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

微积分学 示例

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