微积分学示例

$y = \frac{3 x - 4}{x^{3}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 4}{x^{3}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - 4$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2.2

根据加法法则， $3 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3} (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2.7

化简表达式。

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解题步骤 3.2.7.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2.7.2

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{3} - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{3 x^{3} - (3 x - 4) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 3.2.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} + (- 3 (3 x) - 3 \cdot - 4) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x) x^{2} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x)) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.3.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x^{1})) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{2 + 1}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.3.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{3}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.3.2

从 $3 x^{3}$ 中减去 $9 x^{3}$ 。

$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.4

从 $- 6 x^{3} + 12 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

从 $- 6 x^{3}$ 中分解出因数 $6 x^{2}$ 。

$\frac{6 x^{2} (- x) + 12 x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.4.2

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x^{2}$ 。

$\frac{6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.4.3

从 $6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)$ 中分解出因数 $6 x^{2}$ 。

$\frac{6 x^{2} (- x + 2)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.5

约去 $x^{2}$ 和 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.1

从 $6 x^{2} (- x + 2)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.5.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{6 (- x + 2)}{x^{4}}$

解题步骤 3.3.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- (x) + 2)}{x^{4}}$

解题步骤 3.3.7

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{6 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{4}}$

解题步骤 3.3.8

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- (x - 2))}{x^{4}}$

解题步骤 3.3.9

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{6 (- 1 (x - 2))}{x^{4}}$

解题步骤 3.3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

微积分学 示例

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