微积分学示例

$y = 3^{x} x^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{x} x^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$3^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3^{x} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $3^{x}$ 乘以 $3$ 。

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解题步骤 3.3.1

移动 $3$ 。

$3 \cdot 3^{x} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 乘以 $3^{x}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{1} \cdot 3^{x} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3^{1 + x} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 3.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$3^{1 + x} x^{2} + x^{3} (3^{x} \ln (3))$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

重新排序项。

$3^{1 + x} x^{2} + 3^{x} x^{3} \ln (3)$

解题步骤 3.5.2

将 $3^{1 + x} x^{2} + 3^{x} x^{3} \ln (3)$ 中的因式重新排序。

$x^{2} \cdot 3^{1 + x} + x^{3} \cdot 3^{x} \ln (3)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = x^{2} \cdot 3^{1 + x} + x^{3} \cdot (3^{x} \ln (3))$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot 3^{1 + x} + x^{3} \cdot (3^{x} \ln (3))$

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