微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x - 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{lower} = - 2 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = - 3$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 2 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $3^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

解题步骤 4

$3^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ 。

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ 在 $1$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

计算指数。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

解题步骤 6.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

解题步骤 6.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

解题步骤 6.2.4

将 $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

解题步骤 6.2.5

将 $\frac{1}{27}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (3)}$ 。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

解题步骤 6.2.6

将 $\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ 乘以 $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ 。

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

解题步骤 6.2.7

合并。

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.8

运用分配律。

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.9

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.9.1

约去公因数。

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.9.2

重写表达式。

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.10

组合 $\ln (3)$ 和 $\frac{1}{27 \ln (3)}$ 。

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.11

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.11.1

约去公因数。

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.11.2

重写表达式。

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.12

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.13

组合 $3$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.14

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.15

化简分子。

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解题步骤 6.2.15.1

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.15.2

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

解题步骤 6.2.16

将 $2$ 移到 $\ln (3)$ 的左侧。

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

解题步骤 6.2.17

将 $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

解题步骤 6.2.18

将 $\frac{80}{27}$ 乘以 $\frac{1}{2 \ln (3)}$ 。

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

解题步骤 6.2.19

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

解题步骤 6.2.20

约去 $80$ 和 $54$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.20.1

从 $80$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

解题步骤 6.2.20.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.20.2.1

从 $54 \ln (3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

解题步骤 6.2.20.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

解题步骤 6.2.20.2.3

重写表达式。

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

小数形式：

$1.34850255 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

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