微积分学示例

$y = arccot (\sqrt{x})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = arccot (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arccot (x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arccot (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

$arccot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3

化简。

$- \frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.8

化简分子。

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解题步骤 4.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 4.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 4.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 4.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.11

将 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + x)}$

解题步骤 4.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 (1 + x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13

化简。

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解题步骤 4.13.1

运用分配律。

$- \frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13.2

运用分配律。

$- \frac{1}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13.3

合并项。

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解题步骤 4.13.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.13.3.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

解题步骤 4.13.3.2.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.13.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

解题步骤 4.13.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 4.13.3.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.13.3.2.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 4.13.3.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.13.4

化简分母。

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解题步骤 4.13.4.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.13.4.1.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.13.4.1.2

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 4.13.4.1.3

从 $2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})$ 中分解出因数 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 4.13.4.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{1})}$

解题步骤 4.13.4.3

化简。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

微积分学 示例

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