微积分学示例

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = 1 + \csc (x)$ 。

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $1 + \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

乘。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $\cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.7

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

运用分配律。

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

化简分子。

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解题步骤 3.10.2.1

从 $1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 3.10.2.1.1

从 $1 (- \csc^{2} (x))$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.1.2

从 $\cot^{2} (x) \csc (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.1.3

从 $\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.1.4

从 $\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.2

从 $- \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.3

从 $\cot^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.4

从 $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.5

使用勾股恒等式。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.6

化简每一项。

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解题步骤 3.10.2.6.1

将 $- \csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.7

运用分配律。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.9

将 $- 1$ 移到 $\csc (x)$ 的左侧。

$\frac{- \csc (x) \csc (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.10

化简每一项。

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解题步骤 3.10.2.10.1

乘以 $- \csc (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 3.10.2.10.1.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.10.1.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.10.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- {\csc (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.10.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.2.10.2

将 $- 1 \csc (x)$ 重写为 $- \csc (x)$ 。

$\frac{- \csc^{2} (x) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.3

化简分子。

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解题步骤 3.10.3.1

从 $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 3.10.3.1.1

从 $- \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.3.1.2

从 $- \csc (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.3.1.3

从 $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.3.2

从 $- \csc (x) - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.10.3.2.1

从 $- \csc (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.3.2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.3.2.3

从 $- (\csc (x)) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) + 1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

$\frac{\csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.3.3

提取负因数。

$\frac{- \csc (x) (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.4

约去 $\csc (x) + 1$ 和 ${(1 + \csc (x))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.4.1

重新排序项。

$\frac{- \csc (x) (1 + \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.4.2

从 $- \csc (x) (1 + \csc (x))$ 中分解出因数 $1 + \csc (x)$ 。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10.4.3

约去公因数。

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解题步骤 3.10.4.3.1

从 ${(1 + \csc (x))}^{2}$ 中分解出因数 $1 + \csc (x)$ 。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

解题步骤 3.10.4.3.2

约去公因数。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

解题步骤 3.10.4.3.3

重写表达式。

$\frac{- \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

解题步骤 3.10.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

微积分学 示例

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