微积分学示例

$y = \frac{8 - \sec (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 - \sec (x)}{\tan (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 8 - \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [8 - \sec (x)] - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $8 - \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ 。

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.2.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ 相加。

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.4

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.5

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.8

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (8 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

运用分配律。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 8 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.2

运用分配律。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 8 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3

化简分子。

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解题步骤 3.9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.9.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.1.2

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.9.3.1.2.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.1.2.2

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 3.9.3.1.2.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.1.3

乘以 $- - \sec^{3} (x)$ 。

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解题步骤 3.9.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.1.3.2

将 $\sec^{3} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.2

从 $- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 3.9.3.2.1

从 $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.2.2

从 $- 8 \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.2.3

从 $\sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.2.4

从 $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.2.5

从 $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.3

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.4

将 $- \tan^{2} (x)$ 和 $\sec^{2} (x)$ 重新排序。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.5

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.6

运用分配律。

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.7

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sec (x) - 8 \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.9

乘以 $- 8 \sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 3.9.3.9.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec (x) - 8 (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.9.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec (x) - 8 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sec (x) - 8 {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.3.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sec (x) - 8 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.4

从 $\sec (x) - 8 \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 3.9.4.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - 8 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.4.2

从 $- 8 \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.4.3

从 $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.9.5

从 $\tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

解题步骤 3.9.6

分离分数。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 3.9.7

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.9.8

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.9.9

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 3.9.10

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.10.1

约去公因数。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 3.9.10.2

重写表达式。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 3.9.11

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

解题步骤 3.9.12

组合 $\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)}$ 和 $\csc (x)$ 。

$\frac{(1 - 8 \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 3.9.13

分离分数。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

解题步骤 3.9.14

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.9.15

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.9.16

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 3.9.17

化简。

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解题步骤 3.9.17.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 3.9.17.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

解题步骤 3.9.18

用 $1 - 8 \sec (x)$ 除以 $1$ 。

$(1 - 8 \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

解题步骤 3.9.19

运用分配律。

$1 (\csc (x) \cot (x)) - 8 \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

解题步骤 3.9.20

将 $\csc (x) \cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

微积分学 示例

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