微积分学示例

$y = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 1 - \sin (x)$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $1 - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 相加。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

乘。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

运用分配律。

$\frac{1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.2

化简分子。

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解题步骤 3.9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.9.2.1.1

将 $- \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.2.1.2

乘以 $- \sin (x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 3.9.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.2.1.2.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.2.1.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.2.1.2.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.2.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.2.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.2.2

使用勾股恒等式。

$\frac{- \sin (x) + 1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.3

约去 $- \sin (x) + 1$ 和 ${(1 - \sin (x))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.3.1

重新排序项。

$\frac{1 - \sin (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.3.2

乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9.3.3

约去公因数。

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解题步骤 3.9.3.3.1

从 ${(1 - \sin (x))}^{2}$ 中分解出因数 $1 - \sin (x)$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 3.9.3.3.2

约去公因数。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 3.9.3.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

微积分学 示例

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