微积分学示例

$y = \frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{\cos (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 重写为 $\cos^{- 1} (x)$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

解题步骤 3.2.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$5 (- \cos^{- 2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

解题步骤 3.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

解题步骤 3.2.6

将 $\cos^{- 2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

解题步骤 3.3.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

解题步骤 3.3.4

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$5 \sec^{2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.4.3

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.4.3.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.4.3.3

一的任意次幂都为一。

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.4.3.4

组合 $5$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.4.3.5

组合 $\frac{5}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.4.3.6

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.4.3.7

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.3.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{5 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.4.2

分离分数。

$\frac{5}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.4.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{5}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.4.4

分离分数。

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.4.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{5}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.4.6

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.4.7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.4.8

将 $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 。

$5 \sec (x) \tan (x) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.4.4.9

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

微积分学 示例

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