微积分学示例

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 2 x - 2$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 2] - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.13

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + 0)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.14

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2)$ 。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2

合并 $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

按照 $- 2 x \cdot 2$ 和 $2 (2 x)$ 重新排列因数。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

将 $- 2 \cdot 2 x$ 和 $2 \cdot 2 x$ 相加。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 0 + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

将 $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.4

从 $2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.7.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.7.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.7.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.7

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.8

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.7.10

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.8

从 $2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.9

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

合并 $2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 + 0 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $- 2 x^{2} + 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x + 0}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2.4

将 $- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.3

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $- 4 x^{2} + 8 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- x) + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2

从 $8 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- x) + 4 x (2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.3

从 $4 x (- x) + 4 x (2)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (- x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 x (- (x) + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{4 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 x (- (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{4 x (- 1 (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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