微积分学示例

$y = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{3}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{3}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)] - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)] - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)] - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 3$ 且 $g (x) = x^{2} + 3 x + 9$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 9] + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $x^{2} + 3 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3 + 0) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.7

将 $2 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.8

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.10

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) (1 + 0)) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.11

化简表达式。

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解题步骤 3.4.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x + 9) \cdot 1) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.11.2

将 $x^{2} + 3 x + 9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.13

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.4.13.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.13.2

从 $x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.13.2.1

从 $x^{3} ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9)) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.13.2.2

从 $- 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9)) + x^{2} (- 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.13.2.3

从 $x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9)) + x^{2} (- 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{x^{6}}$

解题步骤 3.5

约去公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$\frac{x ((x - 3) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x + 9) - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$\frac{x ((x - 3) (2 x + 3)) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 - 3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.2

运用分配律。

$\frac{x ((x - 3) (2 x + 3)) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (2 x + 3)$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3)) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x + 3)) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.6.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x (2 x \cdot x + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x (2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x (2 x^{2} + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.2.1.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x (2 x^{2} + 3 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x (2 x^{2} + 3 x - 6 x - 3 \cdot 3) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x (2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.2.2

从 $3 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 9) + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 9 + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.4

化简。

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解题步骤 3.6.3.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 9 + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x + x \cdot - 9 + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.4.3

将 $- 9$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.1.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.5.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 (x^{2} x) - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.5.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} x^{1}) - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{2 + 1} - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.5.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 3 x \cdot x - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.5.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 (x \cdot x) - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.5.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 \cdot x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.6.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.6.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{1} x^{2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{1 + 2} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.6.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + x (3 x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x \cdot x + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.8.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 (x \cdot x) + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + x \cdot 9 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.9

将 $9$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 \cdot x + (- 3 x - 3 \cdot - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.10

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + (- 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 3 x + 9) (x^{2} + 3 x + 9)$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) - 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.12

合并 $- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) - 3 x \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$ 中相反的项。

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解题步骤 3.6.3.1.12.1

按照 $- 3 x \cdot 9$ 和 $9 (3 x)$ 重新排列因数。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) - 3 \cdot 9 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 9 x + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.12.2

将 $- 3 \cdot 9 x$ 和 $3 \cdot 9 x$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 0 + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.12.3

将 $- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) + 9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x \cdot x^{2} - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.13

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.1.13.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.13.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 (x^{2} x) - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.13.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.13.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 (x^{2} x^{1}) - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.13.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{2 + 1} - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.13.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 3 x (3 x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.13.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 3 \cdot 3 x \cdot x + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.13.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.13.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.13.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 3 \cdot 3 x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.13.4

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.13.5

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.14

合并 $- 3 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81$ 中相反的项。

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解题步骤 3.6.3.1.14.1

将 $- 9 x^{2}$ 和 $9 x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} + 0 + 81}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.1.14.2

将 $- 3 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.2

合并 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 3 x^{3} + 81$ 中相反的项。

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解题步骤 3.6.3.2.1

将 $- 3 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 9 x + x^{3} + 0 + 9 x - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.2.2

将 $2 x^{3} - 9 x + x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 9 x + x^{3} + 9 x - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.2.3

将 $- 9 x$ 和 $9 x$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + x^{3} + 0 - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.2.4

将 $2 x^{3} + x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + x^{3} - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.3

将 $2 x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{3} + 81}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.4

从 $3 x^{3}$ 中减去 $3 x^{3}$ 。

$\frac{0 + 81}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.3.5

将 $0$ 和 $81$ 相加。

$\frac{81}{x^{4}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{81}{x^{4}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{81}{x^{4}}$

微积分学 示例

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