微积分学示例

$y = \frac{e^{y}}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{y}}{1 + \sin (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{y}$ 且 $g (x) = 1 + \sin (x)$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [e^{y}] - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $1 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$\frac{(1 e^{y} + \sin (x) e^{y}) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

运用分配律。

$\frac{1 e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $e^{y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.3.2

将 $e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 。

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

约去公因数。

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

重写表达式。

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

因为 $y'$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简 $y' {(1 + \sin (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

重写。

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = 0 + 0 + y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

解题步骤 5.3.2.2

将 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 重写为 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))$

解题步骤 5.3.2.3

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 。

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解题步骤 5.3.2.3.1

运用分配律。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

解题步骤 5.3.2.3.2

运用分配律。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

解题步骤 5.3.2.3.3

运用分配律。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

解题步骤 5.3.2.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.4.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

解题步骤 5.3.2.4.1.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

解题步骤 5.3.2.4.1.3

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x))$

解题步骤 5.3.2.4.1.4

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.3.2.4.1.4.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 5.3.2.4.1.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 5.3.2.4.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 5.3.2.4.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x))$

解题步骤 5.3.2.4.2

将 $\sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x))$

解题步骤 5.3.2.5

运用分配律。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

解题步骤 5.3.2.6

化简。

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解题步骤 5.3.2.6.1

将 $y'$ 乘以 $1$ 。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

解题步骤 5.3.2.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.3.3

因为 $y'$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.4

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.3.4.1

从等式两边同时减去 $y' e^{y}$ 。

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} = y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.4.2

从等式两边同时减去 $y' e^{y} \sin (x)$ 。

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.5

从 $y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.5.2

从 $2 y' \sin (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.5.3

从 $y' \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.5.4

从 $- y' e^{y}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.5.5

从 $- y' e^{y} \sin (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.5.6

从 $y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.5.7

从 $y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.5.8

从 $y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.5.9

从 $y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.6

将 $- 1 e^{y}$ 重写为 $- e^{y}$ 。

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.7

将 $- 1 e^{y}$ 重写为 $- e^{y}$ 。

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

解题步骤 5.3.8

将 $y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ 中的每一项除以 $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.8.1

将 $y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ 中的每一项都除以 $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ 。

$\frac{y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x))}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)} = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

解题步骤 5.3.8.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.8.2.1

约去 $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.8.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

解题步骤 5.3.8.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.8.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

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