微积分学示例

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 4.3

化简。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.5.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.10

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.10.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.10.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.11

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.14

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.14.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.14.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.14.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.14.4

组合 $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.17

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.18

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.19

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.19.1

从 $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.19.2

约去公因数。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.19.3

重写表达式。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.20

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.21

用公分母合并 $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 和 $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.21.1

移动 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.21.2

要将 $2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.21.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.22

通过指数相加将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.22.1

移动 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.22.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.22.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.22.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.23

化简 $2 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ 。

$\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.24

将 $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ 重写为乘积形式。

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.25

将 $\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.26

通过指数相加将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.26.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.26.1.1

对 $x^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 4.26.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 4.26.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.26.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 4.26.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.27.1

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.27.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.27.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.27.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27.2.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.27.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27.2.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27.2.2

从 $2 x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27.3

从 $x^{3} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.27.3.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.27.3.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例