微积分学示例

$\arcsin (x y) = \frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x y)) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.1.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y)$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

对 $x y$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (x^{2} y^{2})}} (x y' + y)$

解题步骤 2.6.2

重新排序 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} (x y' + y)$ 的因式。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.3.2

合并分数。

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解题步骤 3.3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $4 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.3.2.2

将 $\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{(1 + 16 x^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.3.2.3

将 $3$ 移到 $1 + 16 x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})} (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.4

合并分数。

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解题步骤 3.3.4.1

组合 $4$ 和 $\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})}$ 。

$\frac{4 \cdot 2}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \cdot 1$

解题步骤 3.3.6

将 $\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{8}{3 \cdot 1 + 3 (16 x^{2})}$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{3 + 3 (16 x^{2})}$

解题步骤 3.4.2.2

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8}{3 + 48 x^{2}}$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$\frac{8}{48 x^{2} + 3}$

解题步骤 3.4.4

从 $48 x^{2} + 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

从 $48 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3}$

解题步骤 3.4.4.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3 (1)}$

解题步骤 3.4.4.3

从 $3 (16 x^{2}) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}) = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将 $(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ 中的每一项乘以 $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.1.1

将 $(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ 中的每一项乘以 $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ 。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.1.2

将 $x^{2} y^{2}$ 重写为 ${(x y)}^{2}$ 。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x y$ 。

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ 。

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}) \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3

合并分数。

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解题步骤 5.1.2.3.1

合并和化简分母。

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解题步骤 5.1.2.3.1.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ 。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.2

对 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.3

对 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.6

将 ${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x y) (1 - x y)$ 。

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解题步骤 5.1.2.3.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ 重写成 ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.3.1.6.4.1

约去公因数。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.6.4.2

重写表达式。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.6.5

化简。

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.2

将 $x y' + y$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ 。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.3

使用指数书写表达式。

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解题步骤 5.1.2.3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3.3.2

将 $x^{2} y^{2}$ 重写为 ${(x y)}^{2}$ 。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x y$ 。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.5

乘以 $\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ 。

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解题步骤 5.1.2.5.1

组合 $\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ 和 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ 。

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.5.2

对 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.5.3

对 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 5.1.2.6.1

将 ${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x y) (1 - x y)$ 。

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解题步骤 5.1.2.6.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ 重写成 ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(x y' + y) {({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.6.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.1.5

化简。

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x y) (1 - x y)$ 。

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解题步骤 5.1.2.6.2.1

运用分配律。

$\frac{(x y' + y) (1 (1 - x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.2.2

运用分配律。

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.2.3

运用分配律。

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.2.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.6.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x y' + y) (1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3.1.2

将 $- x y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x y (x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.2.6.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - (x \cdot x) y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3.1.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.1.2.6.3.1.6.1

移动 $y$ 。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} (y \cdot y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3.1.6.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3.2

将 $- x y$ 和 $x y$ 相加。

$\frac{(x y' + y) (1 + 0 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x y' + y) (1 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.5

将 $x^{2} y^{2}$ 重写为 ${(x y)}^{2}$ 。

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - {(x y)}^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x y$ 。

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - (x y)))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6.7

去掉多余的括号。

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.1.2.7.1

约去 $1 + x y$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.7.1.1

约去公因数。

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.7.1.2

重写表达式。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.7.2

约去 $1 - x y$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.7.2.1

约去公因数。

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.2.7.2.2

用 $x y' + y$ 除以 $1$ 。

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 5.1.3.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}$

解题步骤 5.1.3.1.2

将 $x^{2} y^{2}$ 重写为 ${(x y)}^{2}$ 。

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x y$ 。

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))}$

解题步骤 5.1.3.3

组合 $\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ 和 $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ 。

$x y' + y = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$

解题步骤 5.3

将 $x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y}{x}$

解题步骤 5.3.3.2

要将 $- y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ 。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y \cdot \frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

解题步骤 5.3.3.3

化简项。

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解题步骤 5.3.3.3.1

组合 $- y$ 和 $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ 。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} + \frac{- y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

解题步骤 5.3.3.3.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

解题步骤 5.3.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.4.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

解题步骤 5.3.3.4.2

运用分配律。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2}) - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

解题步骤 5.3.3.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

解题步骤 5.3.3.4.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

解题步骤 5.3.3.4.5

将 $- 3$ 乘以 $16$ 。

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

解题步骤 5.3.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 5.3.3.6

将 $\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$

解题步骤 5.3.3.7

将 $\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$ 中的因式重新排序。

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$

微积分学 示例

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