微积分学示例

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - y^{2}}$ 重写成 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - y^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 - y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $1 - y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.6

求微分。

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解题步骤 4.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.6.2

合并分数。

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解题步骤 4.6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.6.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

解题步骤 4.6.3

根据加法法则， $1 - y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

解题步骤 4.6.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

解题步骤 4.6.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

解题步骤 4.6.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 4.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 4.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 4.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 4.7.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 4.8

化简项。

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解题步骤 4.8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 4.8.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 4.8.3

组合 $y$ 和 $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y \cdot - 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.8.4

将 $- 2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{- 2 \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.8.5

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.9

约去公因数。

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解题步骤 4.9.1

从 $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.9.2

约去公因数。

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.9.3

重写表达式。

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.11

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y'$

解题步骤 4.12

组合 $y'$ 和 $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{y' y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13

将 $y' y$ 中的因式重新排序。

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = - \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ 。

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

解题步骤 6.2

将 $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2

用 $\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

解题步骤 6.3

两边同时乘以 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4

化简左边。

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解题步骤 6.4.1

约去 ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4.1.2

重写表达式。

$y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.5

将 $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 6.5.1

将 $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

解题步骤 6.5.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

解题步骤 6.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

解题步骤 6.5.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

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