微积分学示例

$y = (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$y = 2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \csc^{2} (3 x - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$ 。

$2 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \csc (3 x - 1)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (3 x - 1)$ 。

$2 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\csc (3 x - 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x - 1$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

解题步骤 4.3.3.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $3 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

解题步骤 4.3.4

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

解题步骤 4.3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])))$

解题步骤 4.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

解题步骤 4.3.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 + 0)))$

解题步骤 4.3.9

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \cdot 3))$

解题步骤 4.3.10

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- 3 \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

解题步骤 4.3.11

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$2 - (- 6 \csc (3 x - 1) (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

解题步骤 4.3.12

对 $\csc (3 x - 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

解题步骤 4.3.13

对 $\csc (3 x - 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc^{1} (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

解题步骤 4.3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 - (- 6 {\csc (3 x - 1)}^{1 + 1} \cot (3 x - 1))$

解题步骤 4.3.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 - (- 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1))$

解题步骤 4.3.16

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$2 + 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1)$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

微积分学 示例

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