微积分学示例

$y = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 且 $g (x) = x - \frac{1}{x}$ 。

$(x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}] + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x - \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.4.3

乘。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.4.3.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.4.5

化简表达式。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.4.5.2

将 $1 + x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 3.4.6

根据加法法则， $x + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 3.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 3.4.8

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 3.4.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

解题步骤 3.5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.3

重新排序项。

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x})$ 。

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解题步骤 3.5.4.1.1

运用分配律。

$1 (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.1.2

运用分配律。

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.1.3

运用分配律。

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.1.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.1.3.2

约去公因数。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.1.3.3

重写表达式。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.1.4

合并。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.4.2.1.5.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.4.2.1.5.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x^{1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.1.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2 + 1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.1.5.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$x + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$ 。

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解题步骤 3.5.4.4.1

运用分配律。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.4.2

运用分配律。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.4.3

运用分配律。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.5.1.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.5.1.2

将 $- \frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.5.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.5.1.3.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.5.1.3.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.5.1.3.3

约去公因数。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.5.1.3.4

重写表达式。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.5.1.4

将负号移到分数的前面。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

解题步骤 3.5.4.5.1.5

乘以 $- \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$ 。

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解题步骤 3.5.4.5.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x}$

解题步骤 3.5.4.5.1.5.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 3.5.4.5.1.5.3

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x}$

解题步骤 3.5.4.5.1.5.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.4.5.1.5.4.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.4.5.1.5.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x^{1}}$

解题步骤 3.5.4.5.1.5.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2 + 1}}$

解题步骤 3.5.4.5.1.5.4.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3.5.4.5.2

从 $- \frac{1}{x}$ 中减去 $\frac{1}{x}$ 。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3.5.4.6

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.6.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3.5.4.6.2

将负号移到分数的前面。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3.5.5

合并 $x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.5.1

从 $\frac{2}{x}$ 中减去 $\frac{2}{x}$ 。

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + 0 + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3.5.5.2

将 $x + \frac{1}{x^{3}} + x$ 和 $0$ 相加。

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3.5.6

在公分母上合并分子。

$x + x + \frac{1 + 1}{x^{3}}$

解题步骤 3.5.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x + x + \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 3.5.8

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

微积分学 示例

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