微积分学示例

$y = \arccos (\sqrt{x}) + \arcsin (\sqrt{1 - x})$

解题步骤 1

将右边重写成指数为有理数的形式。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \arccos (x^{\frac{1}{2}}) + \arcsin (\sqrt{1 - x})$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x}$ 重写成 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \arccos (x^{\frac{1}{2}}) + \arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arccos (x^{\frac{1}{2}}) + \arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\arccos (x^{\frac{1}{2}}) + \arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\arccos (x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$ 。

$\frac{d}{d x} [\arccos (x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [\arccos (x^{\frac{1}{2}})]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.1.2

$\arccos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.1.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.3.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{1}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.4

化简。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.8

化简分子。

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解题步骤 4.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.11

将 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \sqrt{1 - x}} + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3.1.2

$\arcsin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3.1.3

使用 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $1 - x$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 4.3.3

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 4.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 4.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.7

将 ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.7.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{1}}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.8

化简。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.11

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.12

化简分子。

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解题步骤 4.3.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3.14

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))$

解题步骤 4.3.15

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.17

组合 $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} \cdot \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

解题步骤 4.3.18

将 $- 1$ 移到 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} \cdot \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.3.19

将 $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 重写为 $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} \cdot \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.3.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} \cdot \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3.21

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.3.22

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - 1 - - x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - 1 + 1 x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.2.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - 1 + x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.2.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{0 + x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.2.5

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}$ 。

$- (\frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}) - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.3.2.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x}} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.2

移动 $\sqrt{1 - x}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{1 - x} \sqrt{1 - x})} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.3

对 $\sqrt{1 - x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{1 - x}}^{1} \sqrt{1 - x})} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.4

对 $\sqrt{1 - x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{1 - x}}^{1} {\sqrt{1 - x}}^{1})} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{1 - x}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{1 - x}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.7

将 ${\sqrt{1 - x}}^{2}$ 重写为 $1 - x$ 。

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解题步骤 4.4.3.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x}$ 重写成 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.3.2.7.4.1

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.7.4.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.2.7.5

化简。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.3

化简分母。

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解题步骤 4.4.3.3.1

重写。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.3.2

运用分配律。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{\sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{\sqrt{1 - 1 - - x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{\sqrt{1 - 1 + 1 x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{\sqrt{1 - 1 + x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.3.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{\sqrt{0 + x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.3.7

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{\sqrt{x} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.3.3.8

去掉多余的括号。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{\sqrt{x} \cdot 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.3.4

将 $2$ 移到 $\sqrt{x}$ 的左侧。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.3.5

将 $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - (\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

解题步骤 4.4.3.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.3.6.1

将 $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 \cdot \sqrt{x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$

解题步骤 4.4.3.6.2

移动 $\sqrt{x}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

解题步骤 4.4.3.6.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

解题步骤 4.4.3.6.4

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

解题步骤 4.4.3.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.3.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4.4.3.6.7

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 4.4.3.6.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.3.6.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.3.6.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.3.6.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.3.6.7.4.1

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.3.6.7.4.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

解题步骤 4.4.3.6.7.5

化简。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.4.4

要将 $- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} \cdot \frac{x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.4.5

要将 $- \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)} \cdot \frac{x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 (1 - x) x \cdot x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 4.4.6.1

将 $\frac{\sqrt{1 - x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$ 乘以 $\frac{x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 - x) (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) (1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} (1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} (1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} (1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.7

通过指数相加将 $1 - x$ 乘以 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.6.7.1

移动 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x))} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.7.2

将 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 - x$ 。

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解题步骤 4.4.6.7.2.1

对 $1 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{1})} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + 1}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.7.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.7.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.7.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.8

将 $\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$ 乘以 $\frac{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}{(1 - x) x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.6.9

对 $1 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.6.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.6.11

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.6.12

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x ({(1 - x)}^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.6.13

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.6.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2} + 1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.16

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.17

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.18

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{\sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.7

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{1 - x} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) - \sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8

化简分子。

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解题步骤 4.4.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x}$ 重写成 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) - \sqrt{x} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.3

通过指数相加将 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.8.3.1

移动 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- {(1 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- {(1 - x)}^{\frac{2}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.3.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- {(1 - x)}^{1} x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.4

化简 $- {(1 - x)}^{1} x$ 。

$\frac{- (1 - x) x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.5

运用分配律。

$\frac{(- 1 \cdot 1 - - x) x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(- 1 - - x) x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.7

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 4.4.8.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(- 1 + 1 x) x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.7.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(- 1 + x) x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.8

运用分配律。

$\frac{- 1 x + x \cdot x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.9

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{- x + x \cdot x - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.10

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- x + x^{2} - x^{\frac{1}{2}} ((1 - x) x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.11

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.8.11.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- x + x^{2} - (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (1 - x)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x + x^{2} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (1 - x)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.11.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- x + x^{2} - x^{\frac{1 + 1}{2}} (1 - x)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.11.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x + x^{2} - x^{\frac{2}{2}} (1 - x)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.11.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- x + x^{2} - x^{1} (1 - x)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.12

化简 $- x^{1} (1 - x)$ 。

$\frac{- x + x^{2} - x (1 - x)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.13

运用分配律。

$\frac{- x + x^{2} - x \cdot 1 - x (- x)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.14

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x + x^{2} - x - x (- x)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.15

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x + x^{2} - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.16

化简每一项。

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解题步骤 4.4.8.16.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.8.16.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{- x + x^{2} - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.16.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- x + x^{2} - x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.16.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x + x^{2} - x + 1 x^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.16.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x + x^{2} - x + x^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.17

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x^{2} - 2 x + x^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.18

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 2 x}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.19

从 $2 x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 4.4.8.19.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x) - 2 x}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.19.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x) + 2 x (- 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.8.19.3

从 $2 x (x) + 2 x (- 1)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.9

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{1}$ 移动到分母。

$\frac{2 (x - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

解题步骤 4.4.10

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.4.10.1

移动 $x^{- 1}$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{2 (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x - 1)}{2 x^{- 1 + \frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.10.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{2 x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.10.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.10.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.10.6

化简分子。

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解题步骤 4.4.10.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{2 x^{\frac{- 2 + 3}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.10.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.11

约去公因数。

$\frac{2 (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.4.12

重写表达式。

$\frac{x - 1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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