微积分学示例

$y = 2 x^{- 3} - 4 x^{- 2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{- 3} - 4 x^{- 2})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x^{- 3} - 4 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{- 3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{- 3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$- 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 6 x^{- 4} - 4 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 3.3.3

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 6 x^{- 4} + 8 x^{- 3}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序项。

$8 x^{- 3} - 6 x^{- 4}$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8 \frac{1}{x^{3}} - 6 x^{- 4}$

解题步骤 3.4.2.2

组合 $8$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{8}{x^{3}} - 6 x^{- 4}$

解题步骤 3.4.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{8}{x^{3}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 3.4.2.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

解题步骤 3.4.2.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{8}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{8}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

微积分学 示例

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