微积分学示例

$y = 3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{8}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$3 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

解题步骤 3.2.3

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$24 x^{7} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$24 x^{7} - \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

解题步骤 3.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$24 x^{7} - \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.4.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2})$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

重新排序项。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$24 x^{7} + x^{3} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 3.5.2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 3.5.2.3

一的任意次幂都为一。

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 3.5.2.4

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 3.5.2.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.5.2.6

乘以 $3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 3.5.2.6.1

组合 $3$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.5.2.6.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{x^{2} (3 \sin (x))}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.5.2.7

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.5.3

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1

乘以 $1$ 。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.5.3.2

分离分数。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.5.3.3

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.5.3.4

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.5.3.5

分离分数。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.5.3.6

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 3.5.3.7

用 $3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

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