微积分学示例

$y = 5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{3}$ 。

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{3}] + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $4 x^{5} - 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

$5 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$5 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 (x^{3} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$5 (x^{3} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 (3 x^{2})) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.7

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.3.9

将 $3$ 移到 $4 x^{5} - 7 x^{3}$ 的左侧。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + (3 (4 x^{5}) + 3 (- 7 x^{3})) x^{2})$

解题步骤 3.4.3

运用分配律。

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5}) x^{2} + 3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.4

运用分配律。

$5 (x^{3} (20 x^{4})) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5

合并项。

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解题步骤 3.4.5.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$5 (x^{4} x^{3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (x^{4 + 3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.1.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$5 (x^{7} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.2

将 $20$ 移到 $x^{7}$ 的左侧。

$5 (20 \cdot x^{7}) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.3

将 $20$ 乘以 $5$ 。

$100 x^{7} + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.5.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$100 x^{7} + 5 (x^{2} x^{3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$100 x^{7} + 5 (x^{2 + 3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.4.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$100 x^{7} + 5 (x^{5} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.5

将 $- 21$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$100 x^{7} + 5 (- 21 \cdot x^{5}) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.6

将 $- 21$ 乘以 $5$ 。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.7

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{5} x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.8

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.5.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 (x^{2} x^{5})) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{2 + 5}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.8.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{7}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.9

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 3.4.5.10

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{3} x^{2})$

解题步骤 3.4.5.11

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.5.11.1

移动 $x^{2}$ 。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 (x^{2} x^{3}))$

解题步骤 3.4.5.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{2 + 3})$

解题步骤 3.4.5.11.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.12

将 $- 21$ 乘以 $5$ 。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} - 105 x^{5}$

解题步骤 3.4.5.13

将 $100 x^{7}$ 和 $60 x^{7}$ 相加。

$160 x^{7} - 105 x^{5} - 105 x^{5}$

解题步骤 3.4.5.14

从 $- 105 x^{5}$ 中减去 $105 x^{5}$ 。

$160 x^{7} - 210 x^{5}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 160 x^{7} - 210 x^{5}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 160 x^{7} - 210 x^{5}$

微积分学 示例

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