微积分学示例

$y = 4 \arcsin (2 x^{3})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 \arcsin (2 x^{3}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \arcsin (2 x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = 2 x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{3}$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

解题步骤 3.2.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

解题步骤 3.2.3

使用 $2 x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x^{3}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

解题步骤 3.3.2

合并分数。

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解题步骤 3.3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $2 (x^{3})$ 运用乘积法则。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{3 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{6})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

解题步骤 3.3.2.2

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 3.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.4

合并分数。

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解题步骤 3.3.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (3 x^{2})$

解题步骤 3.3.6

合并分数。

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解题步骤 3.3.6.1

组合 $3$ 和 $\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ 。

$\frac{3 \cdot 8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

解题步骤 3.3.6.3

组合 $\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

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