微积分学示例

$y = 4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 x {(3 x - 9)}^{- 4})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(3 x - 9)}^{- 4}$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{- 4}] + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 4}$ 且 $g (x) = 3 x - 9$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 9$ 。

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$4 (x (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

使用 $3 x - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $3 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.5

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.6

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.6.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \cdot 1)$

解题步骤 3.4.8

将 ${(3 x - 9)}^{- 4}$ 乘以 $1$ 。

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4})$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5})) + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.2

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$- 48 x {(3 x - 9)}^{- 5} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 48 x \frac{1}{{(3 x - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.2

化简分母。

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解题步骤 3.5.3.2.1

从 $3 x - 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 48 x \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.2.1.3

从 $3 x + 3 \cdot - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.2.2

对 $3 (x - 3)$ 运用乘积法则。

$- 48 x \frac{1}{3^{5} {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.2.3

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$- 48 x \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1

从 $- 48 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 16 x) \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.3.2

从 $243 {(x - 3)}^{5}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.3.3

约去公因数。

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.3.4

重写表达式。

$- 16 x \frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.4

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}}$ 。

$x \frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.5

组合 $x$ 和 $\frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}}$ 。

$\frac{x \cdot - 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.6

将 $- 16$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

解题步骤 3.5.3.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x - 9)}^{4}}$

解题步骤 3.5.3.9

化简分母。

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解题步骤 3.5.3.9.1

从 $3 x - 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.5.3.9.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{4}}$

解题步骤 3.5.3.9.1.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.5.3.9.1.3

从 $3 x + 3 \cdot - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{4}}$

解题步骤 3.5.3.9.2

对 $3 (x - 3)$ 运用乘积法则。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{3^{4} {(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.5.3.9.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.5.3.10

组合 $4$ 和 $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$ 。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

微积分学 示例

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