微积分学示例

$y = \tan^{2} (\sin (x))$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (\sin (x)))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (\sin (x))$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (\sin (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\tan (\sin (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$2 \tan (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序 $2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ 的因式。

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x) \tan (\sin (x))$

解题步骤 3.4.2

将 $\sec (\sin (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 {(\frac{1}{\cos (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \tan (\sin (x))$

解题步骤 3.4.3

对 $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

解题步骤 3.4.4

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

解题步骤 3.4.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))}$ 。

$\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

解题步骤 3.4.6

组合 $\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

解题步骤 3.4.7

将 $\tan (\sin (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

解题步骤 3.4.8

合并。

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

解题步骤 3.4.9

通过指数相加将 $\cos^{2} (\sin (x))$ 乘以 $\cos (\sin (x))$ 。

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解题步骤 3.4.9.1

将 $\cos^{2} (\sin (x))$ 乘以 $\cos (\sin (x))$ 。

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解题步骤 3.4.9.1.1

对 $\cos (\sin (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

解题步骤 3.4.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{2 + 1}}$

解题步骤 3.4.9.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{3} (\sin (x))}$

解题步骤 3.4.10

从 $\cos^{3} (\sin (x))$ 中分解出因数 $\cos (\sin (x))$ 。

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos^{2} (\sin (x))}$

解题步骤 3.4.11

分离分数。

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

解题步骤 3.4.12

将 $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ 重写为乘积形式。

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

解题步骤 3.4.13

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

解题步骤 3.4.14

化简。

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解题步骤 3.4.14.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

解题步骤 3.4.14.2

将 $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ 转换成 $\sec (\sin (x))$ 。

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

解题步骤 3.4.15

从 $\cos^{2} (\sin (x))$ 中分解出因数 $\cos (\sin (x))$ 。

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

解题步骤 3.4.16

分离分数。

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

解题步骤 3.4.17

将 $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ 转换成 $\tan (\sin (x))$ 。

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

解题步骤 3.4.18

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

解题步骤 3.4.19

将 $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ 转换成 $\sec (\sin (x))$ 。

$\frac{2}{1} \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

解题步骤 3.4.20

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

解题步骤 3.4.21

乘以 $2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$ 。

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解题步骤 3.4.21.1

对 $\sec (\sin (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 3.4.21.2

对 $\sec (\sin (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec^{1} (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 3.4.21.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\sec (\sin (x))}^{1 + 1} \tan (\sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 3.4.21.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

微积分学 示例

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