微积分学示例

$y = \frac{\sec (2 x)}{1 + \tan (2 x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sec (2 x)}{1 + \tan (2 x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sec (2 x)$ 且 $g (x) = 1 + \tan (2 x)$ 。

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

$\sec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 。

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2

将 $2$ 移到 $(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot ((1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

根据加法法则， $1 + \tan (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ 。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ 相加。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \cdot 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12

化简。

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解题步骤 3.12.1

运用分配律。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.2

运用分配律。

$\frac{(2 \cdot 1 \sec (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.3

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4

化简分子。

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解题步骤 3.12.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.12.4.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.1.2

乘以 $2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ 。

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解题步骤 3.12.4.1.2.1

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.1.2.2

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.2

从 $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

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解题步骤 3.12.4.2.1

从 $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.2.2

从 $2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.2.3

从 $- 2 \sec^{3} (2 x)$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.2.4

从 $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x))$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.2.5

从 $2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.3

将 $\tan^{2} (2 x)$ 和 $- \sec^{2} (2 x)$ 重新排序。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - \sec^{2} (2 x) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.4

从 $- \sec^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.5

从 $\tan^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.6

从 $- (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) - \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.7

使用勾股恒等式。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.9

运用分配律。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.4.10

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.5

从 $2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

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解题步骤 3.12.5.1

从 $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.5.2

从 $- 2 \sec (2 x)$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 3.12.5.3

从 $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)$ 中分解出因数 $2 \sec (2 x)$ 。

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

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