微积分学示例

$y = \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}}$ 重写成 ${(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

解题步骤 4.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

解题步骤 4.7

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 5$ 且 $g (x) = x^{2} + 4$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8

求微分。

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解题步骤 4.8.1

根据加法法则， $x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.4

化简表达式。

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解题步骤 4.8.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 4$ 的左侧。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.5

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.8

合并分数。

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解题步骤 4.8.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8.8.3

将 $\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.8.8.4

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 \cdot {(x^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.9

化简。

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解题步骤 4.9.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 5})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.9.2

对 $\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 5}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.3

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.4

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.5

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.6

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7

合并项。

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解题步骤 4.9.7.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.7

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.8

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3} + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.9

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{8 x + 0 + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.10

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 x + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.11

将 $8 x$ 和 $10 x$ 相加。

$\frac{18 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.12

约去 $18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.7.12.1

从 $18 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (9 x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.12.2

约去公因数。

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解题步骤 4.9.7.12.2.1

从 $2 {(x^{2} + 4)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (9 x)}{2 ({(x^{2} + 4)}^{2})} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.12.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (9 x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.12.2.3

重写表达式。

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.13

将 $\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{9 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.14

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.15

通过指数相加将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 乘以 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.9.7.15.1

移动 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.15.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.15.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.15.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.15.5

在公分母上合并分子。

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.15.6

化简分子。

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解题步骤 4.9.7.15.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.7.15.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

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