微积分学示例

$y = x^{4} - 4 x^{2}$

解题步骤 1

将 $y = x^{4} - 4 x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$4 x^{3} - 8 x$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} - 8 x = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

求微分。

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解题步骤 5.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

解题步骤 5.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

解题步骤 5.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 8 x$ 。

$4 x^{3} - 8 x$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 8 x = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 8 x = 0$

解题步骤 6.2

从 $4 x^{3} - 8 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

解题步骤 6.2.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 6.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.5

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 6.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 6.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 6.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 6.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 6.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 6.6

最终解为使 $4 x (x^{2} - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2} - 8$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 - 8$

解题步骤 10.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 - 8$

解题步骤 10.2

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$- 8$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

解题步骤 12.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

解题步骤 12.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 12.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 13

计算在 $x = \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 14.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

解题步骤 14.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

解题步骤 14.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

解题步骤 14.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.1.1.4.1

约去公因数。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

解题步骤 14.1.1.4.2

重写表达式。

$12 \cdot 2^{1} - 8$

解题步骤 14.1.1.5

计算指数。

$12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 14.1.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$24 - 8$

解题步骤 14.2

从 $24$ 中减去 $8$ 。

$16$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \sqrt{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \sqrt{2}$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $\sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 重写为 $2^{2}$ 。

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解题步骤 16.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.1.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 16.2.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 16.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 16.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 16.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 16.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 16.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

解题步骤 16.2.1.3.5

计算指数。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

解题步骤 16.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

解题步骤 16.2.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f (\sqrt{2}) = - 4$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 17

计算在 $x = - \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

化简每一项。

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解题步骤 18.1.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

解题步骤 18.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

解题步骤 18.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

解题步骤 18.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 18.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

解题步骤 18.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

解题步骤 18.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

解题步骤 18.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.1.4.4.1

约去公因数。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

解题步骤 18.1.4.4.2

重写表达式。

$12 \cdot 2^{1} - 8$

解题步骤 18.1.4.5

计算指数。

$12 \cdot 2 - 8$

解题步骤 18.1.5

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$24 - 8$

解题步骤 18.2

从 $24$ 中减去 $8$ 。

$16$

解题步骤 19

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \sqrt{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \sqrt{2}$ 是一个极小值

解题步骤 20

求 $x = - \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 20.1

使用表达式中的 $- \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2

化简结果。

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解题步骤 20.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.2.1.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 重写为 $2^{2}$ 。

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解题步骤 20.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.4.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1.4.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 20.2.1.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.4.4.2.2

约去公因数。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.4.4.2.3

重写表达式。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.4.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.6

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

解题步骤 20.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

解题步骤 20.2.1.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 20.2.1.9

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 20.2.1.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 20.2.1.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 20.2.1.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 20.2.1.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1.9.4.1

约去公因数。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 20.2.1.9.4.2

重写表达式。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

解题步骤 20.2.1.9.5

计算指数。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

解题步骤 20.2.1.10

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

解题步骤 20.2.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

解题步骤 20.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 21

这些是 $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最大值

$(\sqrt{2}, - 4)$ 是一个局部最小值

$(- \sqrt{2}, - 4)$ 是一个局部最小值

解题步骤 22

微积分学 示例

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