微积分学示例

$y = x^{- 1} + x^{- 2} + 2^{x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{- 1} + x^{- 2} + 2^{x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x^{- 1} + x^{- 2} + 2^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2^{x}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2^{x}]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [2^{x}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + 2^{x} \ln (2)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3} + 2^{x} \ln (2)$

解题步骤 3.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}} + 2^{x} \ln (2)$

解题步骤 3.3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}} + 2^{x} \ln (2)$

解题步骤 3.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} + 2^{x} \ln (2)$

解题步骤 3.3.4

重新排序项。

$2^{x} \ln (2) - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2^{x} \ln (2) - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2^{x} \ln (2) - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

微积分学 示例

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