微积分学示例

$y = x^{2 \cot (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2 \cot (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 3.1.1

将 $x^{2 \cot (x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{2 \cot (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \cot (x)})}]$

解题步骤 3.1.2

通过将 $2 \cot (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{2 \cot (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{2 \cot (x) \ln (x)}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 \cot (x) \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 \cot (x) \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用 $2 \cot (x) \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

解题步骤 3.3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cot (x) \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$ 。

$e^{2 \cot (x) \ln (x)} (2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)])$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 \cot (x) \ln (x)}$ 的左侧。

$2 \cdot e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

解题步骤 3.5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

解题步骤 3.6

组合 $\cot (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

解题步骤 3.7

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

运用分配律。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{\cot (x)}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

解题步骤 3.8.2

合并项。

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解题步骤 3.8.2.1

组合 $\frac{\cot (x)}{x}$ 和 $2$ 。

$\frac{\cot (x) \cdot 2}{x} e^{2 \cot (x) \ln (x)} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

解题步骤 3.8.2.2

组合 $\frac{\cot (x) \cdot 2}{x}$ 和 $e^{2 \cot (x) \ln (x)}$ 。

$\frac{\cot (x) \cdot 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

解题步骤 3.8.2.3

将 $2$ 移到 $\cot (x)$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

解题步骤 3.8.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \ln (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.8.3

重新排序项。

$- 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

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