微积分学示例

$y = x^{2} \log_{2} (5 - 4 x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \log_{2} (5 - 4 x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \log_{2} (5 - 4 x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{2} (5 - 4 x)] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{2} (x)$ 且 $g (x) = 5 - 4 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 - 4 x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

$\log_{2} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (2)}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $5 - 4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

组合 $\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $5 - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 相加。

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [- 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.6

合并分数。

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解题步骤 3.3.6.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ 。

$\frac{- 4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \cdot 1 + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) (2 x)$

解题步骤 3.3.10

移动 $\log_{2} (- 4 x + 5)$ 。

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$

解题步骤 3.4

要将 $2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ 。

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) \cdot \frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

解题步骤 3.5

组合 $2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ 和 $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ 。

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + \frac{2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

运用分配律。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

解题步骤 3.7.2

运用分配律。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3

化简分子。

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解题步骤 3.7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{2} (- 4 x + 5)$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.7.3.1.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (2)$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (2^{4})) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3.1.2.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3.1.2.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (2)$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (2^{5}))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3.1.2.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3.1.3

运用分配律。

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16))) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) x + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) (x \cdot x) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.3.2

将 $- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ 中的因式重新排序。

$\frac{- 4 x^{2} - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.4

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (4 x^{2}) - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.5

从 $- x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.6

从 $- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.7

从 $x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.8

从 $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.9

将 $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ 重写为 $- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ 。

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.10

从 $- 4 x \ln (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) + 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.11

从 $5 \ln (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))}$

解题步骤 3.7.12

从 $- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

解题步骤 3.7.13

将 $- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ 重写为 $- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ 。

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

解题步骤 3.7.14

约去公因数。

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

解题步骤 3.7.15

重写表达式。

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

解题步骤 3.7.16

重新排序项。

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

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