微积分学示例

$y = \ln (x^{6} (x^{9} - x + 5))$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{6} (x^{9} - x + 5)))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{6} (x^{9} - x + 5)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = x^{9} - x + 5$ 。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} \frac{d}{d x} [x^{9} - x + 5] + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $x^{9} - x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.6

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + 0) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.7

将 $9 x^{8} - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) (6 x^{5}))$

解题步骤 3.3.9

将 $6$ 移到 $x^{9} - x + 5$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 \cdot (x^{9} - x + 5) x^{5})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

解题步骤 3.4.3

运用分配律。

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + (6 x^{9} + 6 (- x) + 6 \cdot 5) x^{5})$

解题步骤 3.4.4

运用分配律。

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5

合并项。

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解题步骤 3.4.5.1

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{9}$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{6 + 9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.1.2

将 $6$ 和 $9$ 相加。

$\frac{1}{x^{15} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.2

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.5.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{1}{x^{15} + x \cdot x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.4.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{15} + x^{1} x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{15} + x^{1 + 6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.2.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{1}{x^{15} + x^{7} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.3

将 $- 1$ 移到 $x^{7}$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{15} - 1 \cdot x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.4

将 $- 1 x^{7}$ 重写为 $- x^{7}$ 。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.5

将 $5$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 \cdot x^{6}} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.6

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 3.4.5.6.1

移动 $x^{8}$ 。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8} x^{6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8 + 6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.6.3

将 $8$ 和 $6$ 相加。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{14} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.7

将 $9$ 移到 $x^{14}$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 \cdot x^{14} + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.8

将 $- 1$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - 1 \cdot x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.9

将 $- 1 x^{6}$ 重写为 $- x^{6}$ 。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.10

通过指数相加将 $x^{9}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.4.5.10.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 (x^{5} x^{9}) + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{5 + 9} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.10.3

将 $5$ 和 $9$ 相加。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.11

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x \cdot x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.12

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.4.5.12.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x) + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.12.2

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.5.12.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x^{1}) + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{5 + 1} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.12.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 6 \cdot 5 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.13

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.14

将 $9 x^{14}$ 和 $6 x^{14}$ 相加。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - x^{6} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

解题步骤 3.4.5.15

从 $- x^{6}$ 中减去 $6 x^{6}$ 。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$

解题步骤 3.4.6

重新排序 $\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$ 的因式。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}}$

解题步骤 3.4.7

从 $x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.4.7.1

从 $x^{15}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} - x^{7} + 5 x^{6}}$

解题步骤 3.4.7.2

从 $- x^{7}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + 5 x^{6}}$

解题步骤 3.4.7.3

从 $5 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5}$

解题步骤 3.4.7.4

从 $x^{6} x^{9} + x^{6} (- x)$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5}$

解题步骤 3.4.7.5

从 $x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

解题步骤 3.4.8

将 $15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ 乘以 $\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$ 。

$\frac{15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

解题步骤 3.4.9

从 $15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.4.9.1

从 $15 x^{14}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

解题步骤 3.4.9.2

从 $- 7 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

解题步骤 3.4.9.3

从 $30 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

解题步骤 3.4.9.4

从 $x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x)$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

解题步骤 3.4.9.5

从 $x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

解题步骤 3.4.10

约去公因数。

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解题步骤 3.4.10.1

从 $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

解题步骤 3.4.10.2

约去公因数。

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

解题步骤 3.4.10.3

重写表达式。

$\frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

微积分学 示例

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