微积分学示例

$y = \tan (\cos (x))$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (\cos (x)))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

重新排序 $\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$ 的因式。

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 3.3.2

将 $\sec (\cos (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$- {(\frac{1}{\cos (\cos (x))})}^{2} \sin (x)$

解题步骤 3.3.3

对 $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

解题步骤 3.3.4

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

解题步骤 3.3.5

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))}$

解题步骤 3.3.6

从 $\cos^{2} (\cos (x))$ 中分解出因数 $\cos (\cos (x))$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos (\cos (x))}$

解题步骤 3.3.7

分离分数。

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))})$

解题步骤 3.3.8

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

解题步骤 3.3.9

将 $\sin (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

解题步骤 3.3.10

化简。

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解题步骤 3.3.10.1

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

解题步骤 3.3.10.2

将 $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ 转换成 $\sec (\cos (x))$ 。

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

解题步骤 3.3.11

将 $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ 转换成 $\sec (\cos (x))$ 。

$- (\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

解题步骤 3.3.12

乘以 $\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x)))$ 。

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解题步骤 3.3.12.1

对 $\sec (\cos (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x)) \sin (x))$

解题步骤 3.3.12.2

对 $\sec (\cos (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x)) \sin (x))$

解题步骤 3.3.12.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- ({\sec (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x))$

解题步骤 3.3.12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\sec^{2} (\cos (x)) \sin (x))$

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

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