微积分学示例

$y = 5 \cos (x) \tan (x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos (x) \tan (x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \cos (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x)) + 5 (\tan (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$5 \cos (x) \sec^{2} (x) - 5 \tan (x) \sin (x)$

解题步骤 3.5.3

重新排序项。

$5 \sec^{2} (x) \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 3.5.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 3.5.4.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 3.5.4.3

一的任意次幂都为一。

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 3.5.4.4

组合 $5$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 3.5.4.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.5.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 3.5.4.5.2

约去公因数。

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 3.5.4.5.3

重写表达式。

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 3.5.4.6

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.4.7

乘以 $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.7.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $- 5$ 。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x)$

解题步骤 3.5.4.7.2

组合 $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.4.7.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.4.7.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.4.7.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.4.7.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.4.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{\cos (x)} - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.6

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.7

从 $- 5 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.8

从 $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.9

使用勾股恒等式。

$\frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.10

约去 $\cos^{2} (x)$ 和 $\cos (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.10.1

从 $5 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5.10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.10.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

解题步骤 3.5.10.2.2

约去公因数。

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

解题步骤 3.5.10.2.3

重写表达式。

$\frac{5 \cos (x)}{1}$

解题步骤 3.5.10.2.4

用 $5 \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$5 \cos (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 5 \cos (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)$

微积分学 示例

微积分学示例