微积分学示例

$z = x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x}))$

解题步骤 2

$z$ 对 $x$ 的导数为 $z'$ 。

$z'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x + c e^{x}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + c e^{x}] + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x + c e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c e^{x}]$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [c e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.2.3

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $c e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $c \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d x} [e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 3.8.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.10.1

运用分配律。

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10.2

运用分配律。

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.10.3.1

将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10.3.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10.3.6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10.3.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10.3.8

组合 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $c$ 。

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{x}$

解题步骤 3.10.3.9

组合 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} c}{2}$ 和 $e^{x}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

解题步骤 3.10.3.10

要将 $x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

解题步骤 3.10.3.11

组合 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

解题步骤 3.10.3.12

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

解题步骤 3.10.3.13

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

解题步骤 3.10.3.14

将 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 和 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 相加。

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

解题步骤 3.10.4

重新排序项。

$e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$z' = e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d z}{d x}$ 替换 $z'$ 。

$\frac{d z}{d x} = e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

微积分学 示例

微积分学示例