微积分学示例

$z = (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ((2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y})$

解题步骤 2

$z$ 对 $x$ 的导数为 $z'$ 。

$z'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 x + 3 y$ 且 $g (x) = e^{4 x + 5 y}$ 。

$(2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [e^{4 x + 5 y}] + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x + 5 y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x + 5 y$ 。

$(2 x + 3 y) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(2 x + 3 y) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.2.3

使用 $4 x + 5 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 x + 3 y) (e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $4 x + 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ 。

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.3.5

因为 $5 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 + 0) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} \cdot 4 + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.3.6.2

将 $4$ 移到 $(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}$ 的左侧。

$4 \cdot ((2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

解题步骤 3.3.7

根据加法法则， $2 x + 3 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 。

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

解题步骤 3.3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

解题步骤 3.3.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

解题步骤 3.3.11

因为 $3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 + 0)$

解题步骤 3.3.12

化简表达式。

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解题步骤 3.3.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} \cdot 2$

解题步骤 3.3.12.2

将 $2$ 移到 $e^{4 x + 5 y}$ 的左侧。

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + 2 \cdot e^{4 x + 5 y}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$(4 (2 x) + 4 (3 y)) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(8 x + 4 (3 y)) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

解题步骤 3.4.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$(8 x + 12 y) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$z' = e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d z}{d x}$ 替换 $z'$ 。

$\frac{d z}{d x} = e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$

微积分学 示例

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