微积分学示例

$z = \frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}})$

解题步骤 2

$z$ 对 $x$ 的导数为 $z'$ 。

$z'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3} y - x y^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} y - x y^{3}] - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{3} y - x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{3} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 \cdot y x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

因为 $- y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \cdot 1) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

化简表达式。

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解题步骤 3.2.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.11.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y - x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) + (- 2 (x^{3} y) - 2 (- x y^{3})) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3})$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{2} (y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 2} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{2} (y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.5

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1.5.1

移动 $y$ 。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y \cdot y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1.5.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y^{1} y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{1 + 2} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{2} y^{3} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.7

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1.7.1

移动 $y^{3}$ 。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - (y^{3} y^{2}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{3 + 2} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.1.7.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

将 $- x^{2} y^{3}$ 和 $3 y^{3} x^{2}$ 相加。

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解题步骤 3.3.3.1.2.2.1

移动 $y^{3}$ 。

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2.2

将 $- x^{2} y^{3}$ 和 $3 x^{2} y^{3}$ 相加。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x \cdot x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1} x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1 + 3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{4} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- (x \cdot x) y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- x^{2} y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2

从 $3 x^{4} y$ 中减去 $2 x^{4} y$ 。

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + 1 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.4

将 $2 x^{2} y^{3}$ 和 $2 x^{2} y^{3}$ 相加。

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

重新排序项。

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

从 $- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

从 $- y^{5}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y^{4}) + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.2

从 $x^{4} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.3

从 $4 y^{3} x^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.4

从 $y (- y^{4}) + y x^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.5

从 $y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y^{4} + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

从 $- y^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y^{4}) + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y^{4}) - 1 (- x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.8

从 $- (y^{4}) - 1 (- x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.9

从 $4 y^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.10

从 $- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.11

将 $- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ 重写为 $- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ 。

$\frac{y (- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$z' = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d z}{d x}$ 替换 $z'$ 。

$\frac{d z}{d x} = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

微积分学 示例

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