微积分学示例

$y = x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [x^{2 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.2.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.7.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 (- x^{- 2})$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{- 2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5}{x^{2}}$

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