微积分学示例

$y = \frac{x}{\arctan (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \arctan (x)$ 。

$\frac{\arctan (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $\arctan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arctan (x) - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 3

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{\arctan (x) - x \frac{1}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{\arctan (x) - \frac{x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 5

要将 $\arctan (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 7

将 $\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 8

将 $\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{{\arctan (x)}^{2}}$ 。

$\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2} - x}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2} - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

将 $\arctan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2} - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 9.3.2

将 $\arctan (x) + \arctan (x) x^{2} - x$ 中的因式重新排序。

$\frac{\arctan (x) + x^{2} \arctan (x) - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 9.4

将 ${\arctan (x)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\arctan (x) + x^{2} \arctan (x) - x}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 9.5

重新排序项。

$\frac{x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x)}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

微积分学 示例

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