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微积分学 示例
解题步骤 1
将 书写为一个函数。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
求一阶导数。
解题步骤 2.1.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.1.2
计算 。
解题步骤 2.1.2.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.1.2.1.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 2.1.2.1.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =。
解题步骤 2.1.2.1.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 2.1.2.2
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.1.2.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.1.2.4
将 乘以 。
解题步骤 2.1.2.5
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.1.3
计算 。
解题步骤 2.1.3.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.1.3.1.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 2.1.3.1.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =。
解题步骤 2.1.3.1.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 2.1.3.2
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.1.3.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.1.3.4
将 乘以 。
解题步骤 2.1.3.5
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.1.3.6
将 重写为 。
解题步骤 2.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 3
解题步骤 3.1
将一阶导数设为等于 。
解题步骤 3.2
通过在等式两边同时加上 的方法来将其移到等式右边。
解题步骤 3.3
取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。
解题步骤 3.4
展开左边。
解题步骤 3.4.1
将 重写为 。
解题步骤 3.4.2
通过将 移到对数外来展开 。
解题步骤 3.4.3
的自然对数为 。
解题步骤 3.4.4
将 乘以 。
解题步骤 3.5
展开右边。
解题步骤 3.5.1
通过将 移到对数外来展开 。
解题步骤 3.5.2
的自然对数为 。
解题步骤 3.5.3
将 乘以 。
解题步骤 3.6
将所有包含 的项移到等式左边。
解题步骤 3.6.1
在等式两边都加上 。
解题步骤 3.6.2
将 和 相加。
解题步骤 3.7
从等式两边同时减去 。
解题步骤 3.8
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 3.8.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 3.8.2
化简左边。
解题步骤 3.8.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 3.8.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 3.8.2.1.2
用 除以 。
解题步骤 3.8.3
化简右边。
解题步骤 3.8.3.1
将负号移到分数的前面。
解题步骤 4
使导数等于 的值为 。
解题步骤 5
求出让导数 等于 或无定义的点后,用来检验 在何处增加和在何处减少的区间即为 。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 6.2
化简结果。
解题步骤 6.2.1
化简每一项。
解题步骤 6.2.1.1
将 乘以 。
解题步骤 6.2.1.2
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 6.2.1.3
组合 和 。
解题步骤 6.2.1.4
将 乘以 。
解题步骤 6.2.2
最终答案为 。
解题步骤 6.3
化简。
解题步骤 6.4
在 处,导数为 。由于其值为负,函数在 上递减。
因为 ,所以在 上递减
因为 ,所以在 上递减
解题步骤 7
解题步骤 7.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 7.2
化简结果。
解题步骤 7.2.1
化简每一项。
解题步骤 7.2.1.1
将 乘以 。
解题步骤 7.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 7.2.1.3
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 7.2.2
最终答案为 。
解题步骤 7.3
化简。
解题步骤 7.4
在 处,导数为 。由于其值为正,函数在 上递增。
因为 ,所以函数在 上递增
因为 ,所以函数在 上递增
解题步骤 8
列出函数在其上递增与递减的区间。
递增区间:
递减于:
解题步骤 9