微积分学示例

$y = 4 \sin (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x) \csc (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \csc (x^{2})$ 。

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})] + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$4 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2

$\csc (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc (u) \cot (u)$ 。

$4 (\sin (x) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \cos (x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x)) + 4 (\csc (x^{2}) \cos (x))$

解题步骤 6.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- 8 \sin (x) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x + 4 \csc (x^{2}) \cos (x)$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$- 8 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

将 $\cot (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.2

乘以 $- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 。

$x \frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 。

$\frac{x (- 8 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.3

将 $- 8$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.5

将 $\csc (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.6

乘以 $- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ 。

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解题步骤 6.4.6.1

将 $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 乘以 $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.6.2

对 $\sin (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.6.3

对 $\sin (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.7

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ 。

$- \frac{\sin (x) (8 x \cos (x^{2}))}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.8

将 $8$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$- \frac{8 \cdot \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

解题步骤 6.4.9

将 $\csc (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.4.10

乘以 $4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$ 。

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解题步骤 6.4.10.1

组合 $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 和 $4$ 。

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4}{\sin (x^{2})} \cos (x)$

解题步骤 6.4.10.2

组合 $\frac{4}{\sin (x^{2})}$ 和 $\cos (x)$ 。

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1

从 $\sin^{2} (x^{2})$ 中分解出因数 $\sin (x^{2})$ 。

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.2

分离分数。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.3

将 $\frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.4

将 $\sin (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.5

化简。

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解题步骤 6.5.5.1

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.5.2

将 $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 转换成 $\csc (x^{2})$ 。

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.6

分离分数。

$- (\frac{8 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.7

将 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 转换成 $\cot (x^{2})$ 。

$- (\frac{8 x}{1} \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.8

用 $8 x$ 除以 $1$ 。

$- (8 x \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.9

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$- 8 (x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.10

分离分数。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 6.5.11

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$ 重写为乘积形式。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

解题步骤 6.5.12

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})$

解题步骤 6.5.13

化简。

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解题步骤 6.5.13.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

解题步骤 6.5.13.2

将 $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 转换成 $\csc (x^{2})$ 。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \csc (x^{2}))$

解题步骤 6.5.14

用 $4$ 除以 $1$ 。

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

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