微积分学示例

$y = 25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$

解题步骤 1

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$ 对 $x$ 的导数是 $25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$ 。

$25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ 且 $g (x) = x^{5} + 17$ 。

$25 (x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 17] + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{5} + 17$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]$ 。

$25 (x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 3.3

因为 $17$ 对于 $x$ 是常数，所以 $17$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + 0) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 3.4

将 $5 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4}) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{5}}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x^{4}$ 。

$25 (x^{4} x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 (x^{4 + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 4.3

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$25 (x^{4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 4.4

组合 $4$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$25 (x^{\frac{20 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 4.6.2

将 $20$ 和 $1$ 相加。

$25 (x^{\frac{21}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 5

将 $5$ 移到 $x^{\frac{21}{5}}$ 的左侧。

$25 (5 \cdot x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{- \frac{4}{5}}$ 。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{5}}$ 移动到分母。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}}) + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3

合并项。

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解题步骤 14.3.1

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.2

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5}}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{4}{5}}$ 移动到分子。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5} x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.4

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{5}}$ 。

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解题步骤 14.3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.4.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.4.3

组合 $5$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.4.4

在公分母上合并分子。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.4.5

化简分子。

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解题步骤 14.3.4.5.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{25 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.4.5.2

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.5

组合 $25$ 和 $\frac{x^{\frac{21}{5}}}{5}$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.6

从 $25 x^{\frac{21}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.7

约去公因数。

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解题步骤 14.3.7.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 (1)} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.7.2

约去公因数。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 \cdot 1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.7.3

重写表达式。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 x^{\frac{21}{5}}}{1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.7.4

用 $5 x^{\frac{21}{5}}$ 除以 $1$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

解题步骤 14.3.8

组合 $17$ 和 $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 14.3.9

组合 $25$ 和 $\frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 \cdot 17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 14.3.10

将 $25$ 乘以 $17$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{425}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 14.3.11

从 $425$ 中分解出因数 $5$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 14.3.12

约去公因数。

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解题步骤 14.3.12.1

从 $5 x^{\frac{4}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

解题步骤 14.3.12.2

约去公因数。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 14.3.12.3

重写表达式。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 14.3.13

将 $125 x^{\frac{21}{5}}$ 和 $5 x^{\frac{21}{5}}$ 相加。

$130 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$

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