微积分学示例

$y = \frac{1}{4 \sqrt{x}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{4 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{1}{4 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 \sqrt{x} \sqrt{x}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.2

移动 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 (\sqrt{x} \sqrt{x})} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.4

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 {\sqrt{x}}^{2}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.7

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x^{\frac{2}{2}}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.7.4.1

约去公因数。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x^{\frac{2}{2}}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.7.4.2

重写表达式。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x^{1}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.1.7.5

化简。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})]$

解题步骤 2.2.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $\frac{1}{x \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \sqrt{x} \sqrt{x}})]$

解题步骤 2.2.2.2

移动 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x (\sqrt{x} \sqrt{x})})]$

解题步骤 2.2.2.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})})]$

解题步骤 2.2.2.4

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})})]$

解题步骤 2.2.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x {\sqrt{x}}^{1 + 1}})]$

解题步骤 2.2.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x {\sqrt{x}}^{2}})]$

解题步骤 2.2.2.7

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 2.2.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})]$

解题步骤 2.2.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})]$

解题步骤 2.2.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{\frac{2}{2}}})]$

解题步骤 2.2.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{\frac{2}{2}}})]$

解题步骤 2.2.2.7.4.2

重写表达式。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{1}})]$

解题步骤 2.2.2.7.5

化简。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x})]$

解题步骤 2.2.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})]$

解题步骤 3

因为 $\frac{\sqrt{x}}{4 x} (1 + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{\sqrt{x}}{4 x} (1 + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

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