微积分学示例

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

解题步骤 1.2

$\arccos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 重写为 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.2.2

组合 ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ 。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 4.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

解题步骤 4.7.2

组合 $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

对 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

解题步骤 5.4

化简分母。

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解题步骤 5.4.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.3

重新排序项。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

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解题步骤 5.4.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1 + x^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.4.3

化简。

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解题步骤 5.4.4.3.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.4.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.4.3.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.5

将 $\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 5.4.5.1

从 $(x^{2} + 2) x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 5.4.5.2

从 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 中因式分解出完全幂数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

解题步骤 5.4.5.3

重新整理分数 $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

解题步骤 5.4.6

从根式下提出各项。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

解题步骤 5.4.7

组合 $\frac{x}{x^{2} + 1}$ 和 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

解题步骤 5.5

组合 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 和 $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

解题步骤 5.6

化简分母。

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解题步骤 5.6.1

约去 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 和 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1.1

重新排序项。

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

解题步骤 5.6.1.2

从 ${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

解题步骤 5.6.1.3

约去公因数。

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解题步骤 5.6.1.3.1

乘以 $1$ 。

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

解题步骤 5.6.1.3.2

约去公因数。

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

解题步骤 5.6.1.3.3

重写表达式。

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

解题步骤 5.6.1.3.4

用 $(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.6.2

运用分配律。

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.6.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.6.3.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.6.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.6.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.6.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.6.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.6.5

运用分配律。

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.6.6

从 $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ 中分解出因数 $x \sqrt{x^{2} + 2}$ 。

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解题步骤 5.6.6.1

从 $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ 中分解出因数 $x \sqrt{x^{2} + 2}$ 。

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.6.6.2

从 $x \sqrt{x^{2} + 2}$ 中分解出因数 $x \sqrt{x^{2} + 2}$ 。

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

解题步骤 5.6.6.3

从 $x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ 中分解出因数 $x \sqrt{x^{2} + 2}$ 。

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

解题步骤 5.7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

解题步骤 5.7.2

重写表达式。

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

解题步骤 5.8

将 $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.9

合并和化简分母。

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解题步骤 5.9.1

将 $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 5.9.2

移动 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

解题步骤 5.9.3

对 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

解题步骤 5.9.4

对 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

解题步骤 5.9.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.9.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

解题步骤 5.9.7

将 ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ 重写为 $x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 5.9.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 重写成 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.9.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.9.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.9.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.9.7.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

解题步骤 5.9.7.5

化简。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$

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