微积分学示例

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 9 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 9$ 。

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ 。

$- 36 x^{3} + 12 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ 中分解出因数 $- 12 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 36 x^{3}$ 中分解出因数 $- 12 x^{2}$ 。

$- 12 x^{2} (3 x) + 12 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $- 12 x^{2}$ 。

$- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} (- 1)$ 中分解出因数 $- 12 x^{2}$ 。

$- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x = 1$

解题步骤 2.5.2.2

将 $3 x = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $3 x = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{1}{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 x^{3} - 9 x^{4}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 - 9 {(0)}^{4}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 9 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{1}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{1}{3}$ 替换 $x$ 。

$4 {(\frac{1}{3})}^{3} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{1^{3}}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 4.2.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{1}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (\frac{1}{27}) - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 4.2.2.1.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{27}$ 。

$\frac{4}{27} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

解题步骤 4.2.2.1.5

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1^{4}}{3^{4}}$

解题步骤 4.2.2.1.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1}{3^{4}}$

解题步骤 4.2.2.1.7

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{4}{27} - 9 (\frac{1}{81})$

解题步骤 4.2.2.1.8

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.8.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{4}{27} + 9 (- 1) \frac{1}{81}$

解题步骤 4.2.2.1.8.2

从 $81$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

解题步骤 4.2.2.1.8.3

约去公因数。

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

解题步骤 4.2.2.1.8.4

重写表达式。

$\frac{4}{27} - 1 (\frac{1}{9})$

解题步骤 4.2.2.1.9

将 $- 1 (\frac{1}{9})$ 重写为 $- (\frac{1}{9})$ 。

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9}$

解题步骤 4.2.2.2

要将 $- \frac{1}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 4.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{27} - \frac{3}{9 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{27} - \frac{3}{27}$

解题步骤 4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 - 3}{27}$

解题步骤 4.2.2.5

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{27}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (\frac{1}{3}, \frac{1}{27})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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