微积分学示例

$y = x \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \arctan (\frac{1}{x})$ 。

$x \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2}) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{x^{1 - 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{x^{- 1}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 1}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \cdot 1$

解题步骤 7

将 $\arctan (\frac{1}{x})$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$- \frac{1}{1 x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.3.2

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.3.3

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$- \frac{1}{x + \frac{x}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.3.4

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{x + \frac{x^{1}}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.3.4.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.3.4.3

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.4.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.3.4.3.2

约去公因数。

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.3.4.3.3

重写表达式。

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

解题步骤 8.3.5

要将 $\arctan (\frac{1}{x})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$ 。

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + \arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8.4

重新排序项。

$\frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) - 1}{x + \frac{1}{x}}$

微积分学 示例

微积分学示例