微积分学示例

$y = {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\ln (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (\sin (9 x))$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (9 x))] + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (9 x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (9 x)$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.3

使用 $\sin (9 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\sin (9 x)}$ 转换成 $\csc (9 x)$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $9 x$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 6.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 6.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \cdot 1)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.1

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) \cdot 9) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 7.3.2

将 $9$ 移到 $\csc (9 x) \cos (9 x)$ 的左侧。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (9 \cdot (\csc (9 x) \cos (9 x))) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 8

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{1}{x})$

解题步骤 9

组合 $\ln (\sin (9 x))$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} (\ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

解题步骤 10.2

合并项。

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解题步骤 10.2.1

将 $9$ 移到 $e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (x)$ 的左侧。

$9 \cdot (e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (x)) \csc (9 x) \cos (9 x) + e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

解题步骤 10.2.2

组合 $e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))}$ 和 $\frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$ 。

$9 e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (x) \csc (9 x) \cos (9 x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (\sin (9 x))}{x}$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$9 e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \cos (9 x) \csc (9 x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (9 x))} \ln (\sin (9 x))}{x}$

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